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\begin{document}

\begin{center}
\textbf{UNIVERSITE DU LITTORAL}
\end{center}
\begin{center}
\textbf{\textit{C“te d'Opale}}
\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{DOCTORAT} de math‚matiques

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\textbf{NOM ET PRENOM DU CANDIDAT :} ROSEAU Alain

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\textbf{JURY :}
\end{center}
\vspace{0.5cm}
 BALSER Werner, professeur, Universit‚ d'Ulm, rapporteur,\\
 MITSCHI Claude, M.C.F, H.D.R, Universit‚ de Strasbourg, rapporteur,\\
 PREVOST Marc, Professeur, Universit‚ du Littoral, pr‚sident, \\
 THOMANN Jean, Ing‚nieur IN2P3, Universit‚ de Strasbourg, \\
DUVAL Anne, Professeur, Universit‚ de Lille 1, directrice de thŠse, 

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\textbf{TITRE DE LA THESE : }
Equations doublement confluentes et biconfluentes de Heun : solutions et $k$-sommabilit‚, coefficients de Stokes et de connexion

\vspace{0.5cm}
\textbf{RESUME : } 
Cette thŠse donne quelques r‚sultats concernant les   solutions au voisinage des points singuliers des ‚quations doublement confluentes et biconfluentes de Heun, not‚es respectivement $EDCH$ et  $EBH$ 

La  $k$-sommabilit‚ permet d'obtenir les solutions au voisinage des points singuliers irr‚guliers … partir des solutions formelles. Dans le cas des $EDCH$ et des $EBH$, nous obtenons ainsi de nouvelles expressions int‚grales de ces solutions et nous montrons que ces expressions sont d‚finies dans des secteurs de sommet 0 et de rayon infini. 

Nous donnons des d‚finitions param‚triques des sym‚tries (en nombre infini) des  $EDCH$ et des $EBH$ et nous utilisons ces sym‚tries pour ‚tudier les coefficients de Stokes et de connexion relatifs aux solutions d‚finies plus haut. Nous exprimons, pour les $EDCH$ d'une part et pour les $EBH$ d'autre part, ces coefficients en fonction de l'un d'entre eux bien choisi. Nous obtenons alors des relations v‚rifi‚es par les deux coefficients pr‚c‚demment distingu‚s. Pour les $EDCH$, nous prouvons  que trois des relations pr‚c‚dentes entrainent toutes les autres et suffisent … construire de maniŠre unique des matrices susceptibles d'ˆtre les matrices de Stokes et de connexion des $EDCH$. Nous montrons que, pour les $EBH$,  une seule relation suffit pour obtenir les autres. 

L'exploitation des expressions int‚grales des $k$-sommes nous permet d'exprimer un des coefficients de Stokes des $EDCH$ et un des coefficients de connexion des $EBH$ comme limite d'une suite. Nous utilisons pour les $EDCH$  une variante d'une m‚thode de D. Schmidt, G. Wolf et pour les $EBH$ une m‚thode de W. Balser. 

Les expressions int‚grales des 2-sommes permettent, en calculant les coefficients des s‚ries formelles intervenant dans les solutions formelles, d'obtenir des approximations num‚riques des solutions des $EBH$ ainsi que des coefficients de Stokes et de connexion. Nous donnons quelques exemples de telles approximations.

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\textbf{Date, heure et lieu de la soutenance :} 

26 novembre 1999, 16 heures 

Centre universitaire de la Mi-Voix

Amphi C

Universit‚ du Littoral

50, rue Ferdinand Buisson

62228 Calais



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