Séminaire Itinérant de Catégories

Journée dédiée à Jacques Riguet (1921-2013)

Lieu : Université Diderot Paris 7, bâtiment Condorcet, salle 366A-Klimt

Organisation : René Guitart (rene.guitart [at] orange.fr), Anatole Khélif (khelif [at] math.univ-paris-diderot.fr), Jean-Pierre Laffineur (jplaf [at] algconseil.com)

Veuillez contacter les organisateurs de ce SIC pour plus d’informations, en particulier pour s’inscire.

Programme :

09h30 : Ouverture : Dédicace à Jacques Riguet.
09h40-10h25 : Andrea Montoli
10h30-11h15 : Corentin Drugmand
11h25-12h10 : Marino Gran
14h10-14h55 : Andrei Rodin
15h00-15h45 : Tim Van der Linden
15h55-16h40 : Simon Henry
16h45-17h30 : Olivia Caramello

Titres et résumés:

Olivia Caramello — Théories de type préfaisceau.
On introduira la classe des théories de type préfaisceau (c’est-à-dire la classe des théories qui sont classifiées par un topos de préfaisceaux) en discutant plusieurs exemples appartenant à des domaines mathématiques très différents. Les théories de ce type occupent une place centrale dans la mesure où toute théorie géométrique peut s’écrire comme quotient d’une théorie de type préfaisceau. On présentera ensuite un théorème donnant des conditions explicites nécessaires et suffisantes pour qu’une théorie soit de type préfaisceau, et on discutera diverses conséquences et applications de ce théorème.

Corentin Drugmand — Relations d’équivalence libres internes à une 2-catégorie et objets quotients associés.
La notion de relation d’équivalence interne à une 2-catégorie est un concept produit il y a peu par E. Vitale. Soit $\mathbb{C}$ une 2-catégorie avec produits fibrés et produits binaires (au sens des bilimites) et soit $X\in\mathbb{C}$. L’objectif est ici de construire un 2-adjoint à gauche au 2-foncteur d’oubli $U : \mathsf{EqRel}(X) → \mathsf{Rel}(X)$ entre la 2-catégorie des relations d’équivalences internes sur $X$ et celle des relations internes sur ce même objet. Pour ce faire, on introduit les notions de morphismes internes et de 2-morphisme internes. On observe alors que le 2-foncteur $U$ n’est pas localement une équivalence de groupoïdes. Une conséquence particulière de ce fait est que dans la 2-catégorie Grpd des groupoïdes, l’objet quotient n’est pas le coégalisateur de la relation, mais plutôt un groupoïde quotient de ce coégalisateur.

Marino Gran — Star-régularité et complétion régulière.
Dans ce travail en collaboration avec Zurab Janelidze nous donnons une nouvelle caractérisation des catégories star-régulières [1,2] en utilisant une propriété des graphes réflexifs internes. Comme application nous obtenons une caractérisation de la star-régularité des catégories multi-pointées qui sont la complétion régulière d’une catégorie avec limites finies faibles [3]. On en déduit que la star-régularité est invariante par complétion régulière et, en particulier, qu’une catégorie régulière est normale [4] si et seulement si sa complétion régulière est normale. Bibliographie : [1] M. Gran, Z. Janelidze et A. Ursini, A good theory of ideals in multi-pointed regular categories, JPAA 216 (2012) 1905-1919. [2] M. Gran et O. Ngaha Ngaha, Effective descent morphisms in star-regular categories, Homology, Homotopy and Applications (2013), accepté pour publication. [3] A. Carboni et E.M. Vitale, Regular and exact completions, JPAA 125 (1998) 79-116. [4] Z. Janelidze, The pointed subobject functor, 3×3 lemmas, and subtractivity of spans, TAC 23 (2010) 221-242.

Simon Henry — Topos, Quantales et $C^*$-algèbres : le cas atomique.
Les topos et les $C^*$-algèbres sont deux généralisations possibles de la notion d’espace topologique et il est assez naturel de se demander s’il existe une relation entre ces deux théories. On s’intéresse ici à la possibilité d’attacher à un topos une $C^*$-algèbre construite comme une algèbre de convolution sur une quantale associée à ce topos. On se focalisera sur le cas le plus simple de cette construction, celui d’un topos atomique. On montrera que dans cette situation les algèbres produites portent plusieurs structures : une sous algèbre définie sur $\mathbb{Z}$, liée à de la combinatoire interne au topos, et une évolution temporelle naturelle qui fait d’elle un système dynamique quantique. Le système de Bost-Connes est un exemple typique des algèbres apparaissant par ce procédé.

Andrea Montoli – Sous-objets caractéristiques dans les catégories semi-abéliennes.
Nous étendons aux catégories semi-abéliennes la notion de sous-objet caractéristique, qui est largement utilisée dans la théorie des groupes et dans celle des algèbres de Lie. En plus, nous montrons que beaucoup des propriétés classiques des sous-groupes caractéristiques d’un groupe sont valides dans le cadre général semi-abélien, ou dans des contextes plus forts. Travail en collaboration avec Alan S. Cigoli.

Andrei Rodin — Tout objet est une flèche, toute flèche est un objet.
Un objet géométrique peut être pensé comme une application depuis un type vers un espace de représentation ; donc quand un espace s’applique dans un autre espace, il devient un type. Cette observation révèle une dualité entre logique et géométrie, qui sous-tend diverses versions de logique catégorique, incluant la logique des topos et la théorie homotopique des types. Cette dualité procure une base pour la méthode axiomatique moderne, laquelle diffère de celle classique de Hilbert, mais partage quelques aspects avec la méthode euclidienne.

Tim Van der Linden — Une approche intrinsèque des produits tensoriels.
Quand la notion de produit tensoriel est étudiée d’un point de vue catégorique, d’habitude elle est traitée ou bien comme structure additionnelle sur une catégorie — ce qui mène vers la théorie des catégories monoïdales et enrichies — ou bien d’une fac ̧on ad-hoc en termes d’algèbres libres. Pour autant que je sache, jusqu’à présent, aucune construction interne en termes de limites et colimites n’à été proposée. Le but de mon exposé est de faire exactement ceci. Je vais d’abord donner une construction générale d’un tel produit tensoriel intrinsèque, basée sur les travaux [1, 2, 3] dans le cadre des catégories semi-abéliennes [4]. Ensuite je donnerai un aper ̧cu des exemples principaux et une esquisse de quelques applications. (Travail en collaboration avec Manfred Hartl). Bibliographie : [1] A. Carboni and G. Janelidze, Smash product of pointed objects in lextensive categories, JPAA 183 (2003), 27-43. [2] M. Hartl and B. Loiseau, On actions and strict actions in homological categories, TAC 27 (2013), no. 15, 347-392. [3] M. Hartl and T. Van der Linden, The ternary commutator obstruction for internal crossed modules, Adv. Math. 232 (2013), no. 1, 571-607. [4] G. Janelidze, L. Márki, and W. Tholen, Semi-abelian categories, JPAA 168 (2002), no. 23, 367-386.

Participants:

BARBIER Didier
BARBIN Evelyne
BENABOU Jean
BJERRUM Mary
BOURN Dominique
BURRONI Albert
BURRONI Elisabeth
CARAMELLO Olivia
CAZALIS Roland
CIGOLI Alan
CONNES Alain
DANG VAN Bao Long
DRUGMAND Corentin
DUGOWSON Stéphane
EHRESMANN Andrée
EVEN Valerian
GARATE Charles
GAUCHER Philippe
GRAN Marino
GUITART René
HENRY Simon
JACQMIN Pierre-Alain
JEAN-CHARLES Jérôme
JEDRZEJEWSKI Franck
KADJO Gabriel
KHELIF Anatole
LAFFINEUR Jean-Pierre
LAMARCHE François
MADANI Amir
METERE Giuseppe
MONTI Baya
MONTI Georges
MONTOLI Andrea
MONTOVANI Sandra
MWAME Samuel
PAOLI Simona
ROBERT Johnny
RODIN Andreï
ROZENBAUM Jean-Jacques
SENDROIU Elena
SERFATI Michel
SOBRAL Manuela
STUBBE Isar
SZCZECINIARZ Jean-Jacques
VAN der LINDEN Tim
VAUGELADE Elisabeth