Séminaire Itinérant de Catégories

Lieu: Université Diderot Paris 7 (voir ci-dessous pour les salles)

Organisation: Anatole Khélif (khelif@logique.jussieu.fr), Jean-Pierre Laffineur (jplaf@algconseil.com), Andrée Ehresmann (ehres@u-picardie.fr)

Programme:

Vendredi 9 novembre: Journée en l’honneur de René Guitart pour ses 65 ans

Lieu: 175 rue Chevaleret, Salle 1D23

10h30 Andrée Ehresmann, “Parcours d’un mathématicien aux multiples facettes”
11h15 Jean Bénabou, “Cartesian functors and foliated categories”
12h00 François Nicolas, “La pulsation d’une intellectualité mathématique étrangement évidente”
12h45 Lunch
14h45 Marino Gran, “Les commutateurs pondérés dans les catégories semi-abéliennes”
15h30 Marco Grandis and Robert Paré, “From double to cubical adjunctions”
16h15 Pauze
16h45 Albert Burroni, “Autour des catégories globulaires monoïdales”

Samedi 10 novembre: Séminaire Itinérant de Catégories

Lieu: 10, rue Alice Domon et Léonie Duquet, Bâtiment Condorcet, Salle 454A-Luc Valentin

09h45 Corentin Drugmand, “K-théorie pour 2-structures algébriques”
10h30 Stéphane Dugowson, “Les dynamiques catégoriques ouvertes”
11h15 Pauze
11h45 Valérian Even, “Une approche galoisienne à la théorie des ‘quandles'”
12h30 Lunch
14h45 Jean-Pierre Laffineur, “Esquissabilité de la catégorie des espaces difféologiques définis par Souriau”
15h30 René Guitart, “Carrés exacts absolus, carrés exacts contractiles”

Résumés:

Andrée Ehresmann (Amiens) : “Parcours d’un mathématicien aux multiples facettes”
Le but de l’exposé est d’analyser le déroulement des idées de René Guitart dont j’ai suivi les recherches depuis leur début en 1968. Il sera illustré par un diagramme représentant le ‘système évolutif’ de ses publications, indiquant comment les principales idées se relient ; ceci permettra de dégager des lignes essentielles et de montrer l’unité profonde de sa pensée dans ses manifestations multiples. Je rappellerai ses principaux travaux en théorie des catégories (e.g. univers algébriques et topogenèses, diagrammes localement libres, géométrie des calculs, lax-complétion, cohomologie et carrés exacts, objets borroméens) et montrerai comment ils ont nourri une réflexion profonde sur les notions de ‘logique’ et ‘sens’ à la base de ses recherches dans d’autres domaines : épistémologie (“pulsation mathématique”), sémiotique et logique (logique spéculaire, discours comme être vivant), histoire.

Jean Bénabou (Paris) : “Cartesian functors and foliated categories”
Cartesian maps and functors, defined by Grothendieck, have been studied only in the case of fibered categories. We define these notions, and derived ones, in a much more general context. We show that our definitions coincide with the usual ones for fibrations, but that many important examples, which are not fibrations, fit in our context. And we prove many results about our notions, some of which don’t seem to be known even in the special case of fibered categories.

François Nicolas (Paris) : “La pulsation d’une intellectualité mathématique étrangement évidente”
Je voudrais, en tant que musicien pensif, faire l’éloge d’une intellectualité mathématicienne qui, pour moi, s’avère particulièrement féconde.
Je tenterai pour cela de caractériser d’abord ce que cette intellectualité a en propre, en examinant comment elle noue de manière spécifique des soucis théorique (orienté vers la rationalité des autres sciences), logique (orienté vers la discursivité philosophique) et esthétique (orienté vers le sensible artistique).
A ce titre, je m’interrogerai sur une vaste pulsation à l’œuvre dans ces travaux : entre une figure duale (attachée à  cette polarisation qui semble si consubstantielle à la théorie des catégories et à  son constituant élémentaire : le morphisme – d’où les dualités source et but, domaine et codomaine, limite et colimite) et une figure borroméenne (qui suppose cette fois la dotation minimale d’un trois).
Je remarquerai également que cette intellectualité installe au cœur de son propos le travail du mathématicien, la démonstration mathématique y restant subordonnée au faire mathématicien qu’elle traduit, fixe, et en même temps qu’elle relance (le théorème et sa démonstration comme moments d’appui et de rebond, non comme points d’arrêt).
Je tenterai d’en conclure pourquoi cette mathématique et son intellectualité propre suscitent, de manière si étrangement évidente, une raisonance des faire avec la composition musicale et son intellectualité spécifique : il devient en effet possible de rapporter mathématique et musique non plus sous le seul angle (restreint et desséchant) d’une théorisation (« théoriser la musique à  la lumière des mathématiques ») mais également selon une fraternité entre un faire de la mathématique et un faire de la musique.

Marino Gran (Louvain-la-Neuve) : “Les commutateurs pondérés dans les catégories semi-abéliennes” (travail en collaboration avec George Janelidze et Aldo Ursini)
On introduit une nouvelle notion de centralité pondérée de sous-objets dans le contexte des catégories semi-abéliennes [1]. Le commutateur de sous-objets au sens de Huq [2] ainsi que le commutateur catégorique des relations d’équivalence [3] apparaissent ainsi comme des cas particuliers du nouveau commutateur associé à la notion de centralité pondérée [4], que nous appelons «commutateur pondéré». Si le temps le permet, nous expliquerons aussi la relation de notre travail avec d’autres recherches en algèbre universelle et en théorie des catégories [5,6]. Bibliographie : [1] G. Janelidze, L. Marki and W. Tholen, J. Pure Appl. Algebra 168, 367-386 (2002); [2] S. A. Huq, Quart. J. Math. Oxford 19, no. 2, 363-389 (1968); [3] M.C. Pedicchio, J. Algebra 177, 647- 657 (1995); [4] M. Gran, G. Janelidze et A. Ursini, Prépublication, Séminaire de Mathématique No. 379, UCL (2012). [5] A. Ursini, I, Algebra Univers. 31, 204-222 (1994). [6] S. Mantovani, Th. Appl. Categories 27, 174-188 (2012)

Marco Grandis (Genova) et Robert Paré (Halifax) : “From double to cubical adjunctions”
Extending a previous article on adjoints for double categories (in ‘Cahiers’,
vol. XLV, 2004), we deal now with weak symmetric cubical categories (of infinite
dimension). Also here, a general ‘cubical adjunction’ has a colax cubical functor left
adjoint to a lax one. This cannot be viewed as an adjunction in some bicategory, because
composing lax and colax morphisms destroys all comparisons. However, as in the case of
double adjunctions, cubical adjunctions live in an interesting double category, formed of
weak symmetric cubical categories, with lax and colax double functors as horizontal and
vertical arrows, and suitable double cells.

Albert Burroni (Paris) : “Autour des catégories globulaires monoïdales”
L’exposé donne une version non normalisée et non biaisée de cette structure introduite
par Batanin en 1998. En particulier, on s’appuiera sur l’exemple canonique de cette
structure, celle des spans itérés.

Corentin Drugmand (Louvain-La-Neuve) : “K-théorie pour 2-structures algébriques”
Dans cet exposé, nous décrirons la construction en plusieurs étapes d’un biadjoint à gauche au bifoncteur d’inclusion entre la bicatégorie des groupes catégoriels symétriques et la bicatégorie des groupoïdes monoïdaux symétriques. Si l’horaire le permet, nous montrerons que ce biadjoint “contient” (dans un sens à préciser) toute l’information reliant les groupes abéliens $K_0$ et $K_1$ de la K-théorie algébrique classique.

Stéphane Dugowson (Paris) : “Les dynamiques catégoriques ouvertes”
Donnant lieu, au-delà des seuls systèmes dynamiques discrets ou continus qui en constituent des cas particuliers, à des dynamiques généralement non déterministes et irréversibles fondées sur une multitude de temporalités possibles (temporalités partiellement ordonnées, cycliques, arborescentes, bornées, etc.), les catégories de dynamiques catégoriques que nous avons introduites récemment n’en procèdent pas moins de définitions catégoriques assez élémentaires. Étonnamment plus délicate se révèle la formalisation de dynamiques catégoriques ouvertes, susceptibles de s’influencer mutuellement malgré la disparité des temporalités qui les sous-tendent. Le but de cet exposé est de présenter une telle formalisation, que nous illustrerons par quelques exemples mettant en jeu divers types de temporalité.

Valérian Even (Louvain-la-Neuve) : “Une approche galoisienne à la théorie des ‘quandles'”
Le but est de montrer que la théorie des revêtements de quandles [J, M] développée par M. Eisermann dans [E1, E2] est un cas particulier de celle des extensions centrales donnée par G. Janelidze et G. M. Kelly dans [JK]. Pour cela, on étudiera l’adjonction entre la catégorie des quandles dits “triviaux” et la catégorie des quandles, en montrant tout d’abord qu’elle est admissible au sens de la théorie catégorique de Galois. Nous caractérisons ensuite les notions de revêtement trivial et de revêtement en termes purement algébriques. Cette caractérisation, en plus d’ajouter un exemple inattendu à la théorie de Galois pour l’algèbre universelle, donne aussi un premier exemple de ce type pour une variété d’algèbres universelles qui n’est ni Mal’tsev (2-permutables), ni Goursat (3-permutables). Bibliographie : [E1] M. Eisermann, J. Pure Appl. Alg. 177(2), (2003) 131-157. [E2] M. Eisermann, arXiv:math/0612459v3 [math.GT], (2007). [JK] G. Janelidze, G. M. Kelly, J. Pure Appl. Alg. 97, (1994) 135-161. [J] D. Joyce, J. Pure Appl. Alg. 23, (1982) 37-65. [M] S. V. Matveev, Mat. Sb. (N.S), 119(161):1(9) (1982) 78-88.

Jean-Pierre Laffineur (Paris) : “Esquissabilité de la catégorie des espaces difféologiques définis par Souriau”
Cette catégorie est une “bonne catégorie”, complète, co-complète et cartésienne fermée. Nous en construisons une esquisse explicite. Son esquissabilité a quelques conséquences immédiates : plongement de Yoneda, locale présentabilité, foncteurs évaluation et adjonctions diverses. Nous en déduisons quelques propriétés “faciles” que nous appliquons à des constructions comme les groupes différentiels. Nous montrons le lien avec la construction en quasi-topos de Penon-Dubuc-Stacey-Baez-Hoffnung : Les espaces difféologiques comme catégorie des modèles d’une esquisse ou comme catégorie des faisceaux concrets sur un site concret. Ce lien est le pendant de l’équivalence pour les topos de Grothendieck, vus comme catégories des faisceaux sur un site ou comme catégorie des modèles de l’esquisse associée à la topologie de Grothendieck définie sur ce site.

René Guitart (Paris) : “Carrés exacts absolus, carrés exacts contractiles”
Les carrés exacts dans Cat ne sont pas nécessairement absolus c’est-à-dire préservés par les 2-foncteurs  ${\sf Cat} \to {\sf Cat}$. Ils ne sont même pas nécessairement préservés par les 2-foncteurs $(-)^{\cal C}\colon{\sf Cat} \to {\sf Cat}$ : un carré exact ainsi préservé par exponentiation est dit exact contractile, et on caractérise diagrammatiquement ces carrés contractiles. Important parmi les carrés exacts contractiles, il y a les carrés fibrants et les carrés cofibrants, et en particulier, fibrants et cofibrants, les carrés commas.  Bien entendu un carré exact contractile suffit pour simultanément décrire  la composition de deux distributeurs et de n’importe quelle exponentation d’iceux.

Vidéos:

Sur le site du séminaire parisien “Catégories, Logiques, Etc.” (CLE), plusieurs vidéos sont disponibles, entre autres de certains exposés donnés lors de la Journée Guitart et le SIC du 9-10 novembre 2012: en voici le hyperlien. Merci à Stéphane Dugowson pour l’information.