Séminaire Itinérant de Catégories

Lieu : Université Diderot Paris 7, bâtiment Condorcet, 10 rue Alice Domon et L éonie Duquet, salle 454A Luc Valentin

Organisation : René Guitart, Anatole Khelif, Jean-Pierre Laffineur

Programme :
10h30-11h15 : Andrea Montoli
11h25-12h10 : Anatole Khélif
14h20-15h05 : Tim van der Linden
15h15-16h : Marie Bjerrum
16h15-17h : Isar Stubbe – annulé pour cause de maladie

Résumés :

10h30-11h15 : Andrea Montoli — Produits semi-directs et lemme des cinq court scindé dans les catégories algébriques N. Martins Ferreira et M. Sobral ont montré que, dans une catégorie pointée et régulière $\cal C$, les épimorphismes scindés sont équivalents aux actions internes si et seulement si $\cal C$ est protomodulaire et chaque action interne est stricte. Nous montrons que, même si $\cal C$ n’est pas protomodulaire, les épimorphismes scindés r’eguliers (c’est-à-dire ceux dont le noyau et la section sont collectivement épimorphe) sont équivalents aux actionsinternes si et seulement si dans $\cal C$ un cas particulier du “lemme des cinq court scindé” est valide. [Travail en collaboration avec Nelson Martins Ferreira et Manuela Sobral].

11h25-12h10 : Anatole Khélif — Mécanique quantique, catégories, tovariance et limites projec- tives. En Mécanique Quantique, les états possibles d’un système ne vérifient pas forcément une logique classique. Comment raisonner dessus ? “L’ensemble des états” est-il réellement un ensemble ? Deux pistes seront évoquées : le principe de tovariance et les limites projectives universelles. Nous discuterons aussi d’une “mesure” de l’écart avec la logique classique.

14h20-15h05 : Tim van der Linden — Extensions centrales supérieures via commutateurs binaires.
On montre que toute catégorie semi-abélienne avec la propriété “Smith = Huq” satisfait la condition des commutateurs (CC): les extensions centrales supérieures peuvent être caractérisées algébriquement en n’utilisant que des commutateurs binaires. Par conséquence, on obtient l’interprétation de la cohomologie à coefficients dans un objet abélien en termes de classes d’équivalence d’extensions centrales d’ordre supérieur. En présence d’assez d’objets projectifs on a une formule de Hopf explicite pour l’homologie à coefficients dans le foncteur d’abélianisation. On donne aussi un contre-exemple: la catégorie semi-abélienne des boucles ne satisfait pas la condition (CC). .

15h15-16h : Marie Bjerrum — Une classification de commutations entre limites et co-limites dans Ens. Il est bien connu que les limites finies commutent avec les co-limites filtrantes dans la catégorie des ensembles ($\sf Ens$). On présente une classification complète des commutations qui généralisent ce résultat classique et ses conséquences, dans les cas partants de limites finies. Ainsi on constate qu’il n’y a que les cinq commutations, déjà plus au moins connues, correspondants aux classes de limites suivants: limites finies, limites finies connexes (recollements et produits fibrés), produits finies, objets terminales et limites absolues. Ceci est présenté comme une correspondance de Galois entres classes de limites et classes de co-limites qui commutent, on obtient une notion de clˆoture par commutation mixte et on détermine cette clˆoture d’une quelconque classe de limites finies.

16h15-17h : Isar Stubbe — Allégories de catégories enrichies. Soit $Q$ un quantaloïde involutif, et $Q′$ le quantaloïde obtenu en scindant les idempotents symétriques. Notons ${\sf Rel}(Q)$ pour le quantaloïde dont les objets sont les catégories symétriquement complètes enrichies dans $Q′$, et les morphismes sont les distributeurs entre ces catégories. Je vais donner des conditions nécessaires et suffisantes sur $Q$ pour que ${\sf Rel}(Q)$ soit le quantaloïde des relations dans un topos; et il suit dans ce cas que ${\sf Ens}(Q) := {\sf Map}({\sf Rel}(Q))$ est ce topos. On dira alors que $Q$ est un “quantaloïde de Grothendieck”. Le quantalode $Q = R({\cal C}, J)$ des cribles fermés d’un site $({\cal C},J)$ [Walters] en est un exemple, et ${\sf Ens}(Q) = {\sf Sh}({\cal C},J)$. Et le quantale $Q = {\cal O}(G)$ associé à un groupoïde étale $G$ [Resende] est aussi un exemple, pour lequel ${\sf Ens}(Q) = BG$. (Travail en collaboration avec Hans Heymans.)