Séminaire Itinérant de Catégories

Lieu : Université Diderot Paris 7, bâtiment Condorcet, salle Klee 454 A (plan d’acces)

Organisation : René Guitart, Jean-Pierre Laffineur et Anatole Khelif, au soutien de Marc Lachièze-Rey et du laboratoire APC (AstroParticule & Cosmologie)

Programme :

09h45-10h30 : Tomas Everaert — Regularity of categories of regular epimorphisms
10h40-11h25 : Jean-Pierre Laffineur — Esquisses et Diagrammes Localement Libres
11h35-12h20 : Jean Bénabou — Allégories et catégories de fractions
14h15-15h00 : Alexander Zimmermann — Etudes de catégories stables selon Auslander-Reiten
15h10-15h55 : Albert Burroni — Sur un concept d’arité structurée
16h05-16h50 : Tim Van der Linden — Modules croisés et l’obstruction du commutateur ternaire

Résumés :

Jean Bénabou — Allégories et catégories de fractions.
Une congruence sur une allégorie $A$ est une relation d’équivalence $R$ sur les flèches de $A$ qui n’identifie que des couples ayant même source et même but et est compatible avec toutes les “opérations”. Elle détermine une allégorie quotient $A/R$ et un morphisme d’allégories $P \colon A \to A/R$, qui induit un foncteur ${\sf Map}(P) \colon {\sf Map}(A) \to {\sf Map}(A/R)$. Pour $A$ arbitraire, on ne peut dire de cette correspondance que des trivialités de “l’algèbre universelle”. Mais quand A est tabulaire on en a une description très précise: (i) $R$ est caractérisée par la classe $KER(R)$ des morphismes inversés par ${\sf Map}(P)$. (ii) $KER(R)$ a un calcul de fractions, ${\sf Map}(A/R)$ est la catégorie de fractions de ${\sf Map}(A)$ où l’on inverse $KER(R)$ et ${\sf Map}(P)$ est la “projection” de ${\sf Map}(A)$ sur cette catégorie de fractions. (iii) $KER(R)$ est elle même déterminée par la classe $D(R)$ de ses monos, (appelés “dense”) (iv) Si $K$ et $D$ sont des classes de flèches et de monos de ${\sf Map}(A)$ on sait donner des C.N.S. pour qu’elles soient de la forme $KER(R)$ et $D(R)$. Un “pont” complet est ainsi jeté entre congruences sur les allégories tabulaires et catégories de fractions. On donnera de nombreuses conséquences, et une interprétation en termes de “logique catégorique” de cette correspondance.

Albert Burroni — Sur un concept d’arité structurée.
Classiquement, les opérations algébriques sur les ensembles sont caractéris’ees par une arité qui est un entier naturel. En étendant considérablement le concept de structure algébrique, la théorie des catégories a, par là-même, étendu celui d’arité (et de coarité). Une réflexion sur des exemples montre que ce concept, convenablement généralisé, possde un pouvoir expressif important (de nature géométrique) sur les structures qu’il cherche décrire. Pouvoir qui semble avoir été inemployé jusqu’ici.

Tomas Everaert — Regularity of categories of regular epimorphisms.
For a regular category, the category of regular epimorphisms in it is usually not Barr exact, even for ”very nice” regular categories such as abelian ones. It happens far more often, though, that the category of regular epimorphisms is regular: this is the case, for instance, for any abelian or even semi-abelian category, or for any category of topological semi-abelian algebras. As we shall see, this property has some strong and, perhaps, unexpected consequences, related to descent theory, Galois theory, and the existence of semidirect products.

Jean-Pierre Laffineur — Esquisses et Diagrammes Localement Libres.
C’est en 1981 que R. Guitart et C. Lair ont introduit le concept de Diagramme Localement Libre comme généralisation des familles libres ou localisations au sens de Y. Diers en vue d’application au calcul des modèles et des formules internes issus de la théorie générale des Esquisses. Nous verrons une construction qui permet de passer d’un Diagramme Localement Libre dans une catégorie A à un Objet Libre dans une “catégorie technique” au dessus de la catégorie A. Nous en donnerons une application et quelques exemples dans le cadre de la théorie des esquisses.

Tim Van der Linden — Modules croisés et l’obstruction du commutateur ternaire.
On décrit la notion de module croisé interne en termes d’effets croisés du foncteur identité. Ces effets croisés nous donnent des versions supérieures du commutateur de Higgins, ce qui nous permet de décrire les modules (pré)croisés, les modules de Beck et les extensions abéliennes dans une catégorie semi-abélienne quelconque d’une manière très proche du cas des groupes. L’obstruction qui empêche un graphe de Peiffer d’être un groupoïde — opposée à la condition Smith = Huq, invisible dans la catégorie des groupe — peut maintenant être exprimée d’une façon computationnelle : comme un certain commutateur ternaire. Travail en collaboration avec M. Hartl.

Alexander Zimmermann — Etudes de catégories stables selon Auslander-Reiten.
La catégorie stable d’une algèbre $A$ est une structure assez faible associée à $A$. Si $A$ est auto-injective, la catégorie stable est triangulée. Malgré la souplesse de la catégorie stable certaines propriétés intéressantes de l’algèbre se retrouvent dans cette catégorie. Auslander-Reiten ont étudié des propriétés comme le nombre des classes d’isomorphisme de modules simples, les modules projectifs, injectifs, et similaires. L’homologie et la cohomologie de Hochschild des degrés strictement positifs est une structure qui se retrouve dans la catégorie stable. En degré $0$ ceci n’est pas vrai. Dans un travail avec Yuming Liu et Guodong Zhou nous avons mis en évidence un lien entre l’invariance du nombre de classes d’isomorphisme de modules simples et l’invariance de la dimension de l’homologie de degré $0$.