Séminaire du 21 octobre 2022 à Lille et par visioconférence

Lieu : Université Lille (Villeneuve-d’Ascq), Laboratoire de Mathématiques, Bâtiment M2, Salle de Réunion.

Pour venir au campus : plan et instructions détaillées.

Organisateurs :
Ivo Dell’Ambrogio
Alexis Virelizier
Isar Stubbe

Ce SIC est soutenu financièrement par la Fédération de Recherche Mathématique du Nord-Pas-de-Calais et par le Labex CEMPI.

Inscription :
La participation au SIC est gratuite. Pour des raisons pratiques, on demande aux participants de s’inscrire. Pour cela, un simple mail à un des organisateurs suffit. Le repas de midi sera offert aux participants inscrits avant le 11 octobre !

Programme :

10h15 : Accueil avec café
10h50 – 11h40 : Manuel Mancini
11h50 – 12h40 : Corentin Vienne
Repas offert aux inscrits
14h00 – 14h50 : Isar Stubbe
15h00 – 15h50 : Alexander Zimmermann
Pause café
16h10 – 17h00 : Aurélien Djament

Lien zoom pour les exposés :
https://univ-lille-fr.zoom.us/j/94199916389?pwd=T29MTkgxRU1Oc0s4RnRuNWMyNXpTUT09

Titres et résumés (ordre alphabétique) :

Aurélien Djament – Foncteurs d’une catégorie additive vers une catégorie d’espaces vectoriels de dimension finie
Soient A une petite catégorie additive et K un corps commutatif. La catégorie F(A;K) des foncteurs de A vers les K-espaces vectoriels est une catégorie abélienne aux bonnes propriétés, étudiée dans de nombreux cas particuliers pour des raisons de topologie algébrique (Eilenberg-MacLane, Henn-Lannes-Schwartz…), de théorie des représentations (Auslander, Green…) ou de K-théorie (Suslin, Scorichenko…). Pour autant, sa structure demeure largement mystérieuse. Dans cet exposé, je discuterai quelques questions générales importantes (souvent ouvertes) sur ces catégories ainsi qu’un théorème obtenu dans un travail avec A. Touzé et C. Vespa donnant de nombreuses informations sur les foncteurs de F(A;K) qui sont de longueur finie et dont les valeurs sont des espaces vectoriels de dimension finie. Si le temps le permet, j’évoquerai certains résultats plus précis obtenus tout récemment.

Manuel Mancini – Weak Representability of Actions for Categories of Leibniz algebras and Poisson algebras
It is well known that, in the semi-abelian category $\mathbf{LieAlg}_{\mathbb{F}}$ of Lie algebras over a field $\mathbb{F}$ with $\mathrm{char}(\mathbb{F})\neq2$, algebra actions are represented by derivations. From a categorical point of view, this means that the category $\mathbf{LieAlg}_{\mathbb{F}}$ is action representable and the representing object, which is called the actor, is the Lie algebra of derivations. The notion of action representable category has proven to be quite restrictive. For example, if a variety $\mathcal{V}$ of non-associative algebras over ${\mathbb{F}}$ is action representable, then $\mathcal{V}$ must be the category $\mathbf{LieAlg}_{\mathbb{F}}$. More recently G. Janelidze introduced the notion of weakly action representable category, which includes a wider class of categories. In this talk we explain that the category $\mathbf{LeibAlg}_{\mathbb{F}}$ of Leibniz algebras and the category $\mathbf{Pois}_{\mathbb{F}}$ of Poisson algebras are weakly action representable. In both cases we give a construction of the weak actor $[X]$ of a fixed object $X$ and, given two objects $X,B$, we provide a complete description of the acting morphisms $B\to[X]$, i.e. of the morphisms which identify the split extensions of $B$ by $X$. This is joint work with Alan Cigoli (University of Turin) and Giuseppe Metere (University of Palermo).

Isar Stubbe – Une analyse logique du théorème du point fixe
En 1922, S. Banach a démontré que toute contraction sur un espace métrique complet admet un unique point fixe. En 1973, B. Lawvere a montré que les espaces métriques sont des catégories enrichies dans le quantale $([0,\infty],+,0)$. Il est donc naturel de chercher un théorème du point fixe dans le cadre des catégories enrichies dans un quantale. Je vais montrer un tel résultat, pour des catégories “suffisamment complètes”, des contractions “suffisamment fortes”, et des quantales “suffisamment continus”. A ce jour, les exemples incluent les espaces métriques, les ordres flous (“fuzzy ordered sets”), et les espaces metriques aléatoires. (Travail en collaboration avec A. Benkhadra.)

Corentin Vienne – Quelques propriétés catégoriques sur les Heyting semilattices
Dans son article “A note on the semiabelian variety of Heyting semilattices”, P. Johnstone démontre, en utilisant la caractérisation de Bourn-Janelidze des variétés protomodulaires en algèbre universelle, que la catégorie des Heyting semilattices est semi-abélienne d’une façon inhabituelle. Durant cet exposé, je commencerai par rappeler en quoi cette catégorie diffère de celles couramment étudiées dans le cadre semi-abélien. Ensuite, je partagerai d’autres observations plus récentes que nous avons pu faire sur cette catégorie et qui la rend, à mon sens, curieuse et digne d’intérêt. Enfin, j’évoquerai quelques questions d’ordre catégorique qui restent en suspens suite à ces investigations.
Notes de Corentin Vienne

Alexander Zimmermann – Théorème de Clifford pour les catégories d’orbites
Etant donnée une catégorie k-linéaire et une action de groupe sur cette catégorie, des catégories d’orbites ont été introduit par Gabriel et Riedtmann dans une série d’articles à partir de 1980 pour obtenir une classification des algèbres de type de représentations fini, c’est-à-dire avec un nombre fini de classes d’isomorphismes d’objets indécomposables. Ensuite les catégories d’orbites ont été utilisé dans la théorie des algèbres amassées, et indépendamment dans la théorie des groupes quantiques. On considère ici le comportement des catégories d’orbites par rapport aux sous-groupes distingués. En représentations de groupes cette situation est décrit par le théorème de Clifford datant de 1937. Je présente ici une version de ce théorème de Clifford pour les catégories d’orbites.

Participants (ordre d’inscription) :
Ivo Dell’Ambrogio (Université de Lille)
Alexis Virelizier (Université de Lille)
Isar Stubbe (Université du Littoral)
Andrée Ehresmann (Université d’Amiens; participe à distance)
John F. Robert (Bruxelles)
Philippe Gaucher (CNRS, Université de Paris; participe à distance)
Tim Van der Linden (Université de Louvain)
Daniel Tanré (Université de Lille)
Corentin Vienne (Université de Louvain)
Jacques Darne (Université de Louvain)
Maxime Culot (Université de Louvain)
Aline Michel (Université de Louvain)
Nadja Egner (Université de Louvain)
Nicola Carissimi (Université de Lille)
Iacopo Giordano (Université de Lille)
Sophie d’Espalungue (Université de Lille)
Antoine Touzé (Université de Lille)
Alexander Zimmermann (Université d’Amiens)
Aurélien Djament (Université de Lille)
Bo Shan Deval (Université de Louvain; participe à distance)
Manuel Mancini (Université de Palerme; participe à distance)
David Forsman (Université de Louvain; participe à distance)
Ruben Martos (Université de Lille)
Marvin Verstraete (Université de Lille)
Ivan Bartulovic (Université de Lille)
Dominique Bourn (Université du Littoral; participe à distance)
Richard Mijoule (Lyon; participe à distance)
Sébastien Mattenet (Université de Louvain)
Huafeng Zhang (Université de Lille)
Elisabeth Vaugelade (Paris; participe à distance)
Jean-Pierre Laffineur (Aix-en-Provence; participe à distance)