Séminaire Itinérant de Catégories

Organisation: A. Ehresmann, D. Chataur et I. Stubbe

Lieu: Logis du Roy, Université de Picardie Jules Verne, Amiens

Participation: Pour des raisons pratiques, les participants sont priés de s’inscrire en envoyant un e-mail à Andrée Ehresmann (ehres[at]u-picardie.fr). Le repas de midi (pris sur place) sera offert aux participants inscrits avant fin décembre 2019.

Programme:
09h30 Café de bienvenue
10h00 Arnaud Duvieusart, Groupoïdes fondamentaux d’objets simpliciaux dans les catégories de Mal’tsev
10h45 Dominique Bourn, Mal’tsev and Lawvere functors
11h30 Pause
11h45 Albert Burroni, Systèmes versus Structures (pour une Informatique Fondamentale)
12h30 Déjeuner
14h30 Corentin Vienne, Caractérisation des algèbres de Lie via la représentabilité des actions
15h15 Yann Palu, Complexe platonique et catégories extriangulées
16h00 Pause
16h20 René Guitart, Catégories et monoïdes complets

Participants (ordre d’inscription):
Andrée Ehresmann (Amiens)
David Chataur (Amiens)
Isar Stubbe (Calais)
Marino Gran (Louvain-la-Neuve)
Tim van der Linden (Louvain-la-Neuve)
Yann Palu (Amiens)
Corentin Vienne (Louvain-la-Neuve)
Arnaud Duvieusard (Louvain-la-Neuve)
Albert Burroni (Paris)
Elisabeth Burroni (Paris)
René Guitart (Paris)
Evelyne Barbin (Nantes)
Jacques Penon (Paris)
Alexis Virelizier (Lille)
Dominique Bourn (Calais)
Sébastien Mattenet (Louvain-la-Neuve)
Arij Benkhadra (Calais)
Aline Michel (Louvain-la-Neuve)
Florence Sterck (Louvain-la-Neuve)
François Renaud (Louvain-la-Neuve)
Aurélien Djament (Lille)
Serge Bouc (Amiens)
François Renaud (Louvain-la-Neuve)
Elena Sendroiu (Paris)
Stéphane Dugowson (Paris)

Résumés:
Dominique Bourn : Mal’tsev and Lawvere functors
A Mal’tsev category $\mathcal{C}$ is a finitely complete category in which any reflexive relation is an equivalence relation (Carboni, Lambek, Peddicchio), a naturally Mal’tsev one is a finitely complete category satisfying the Lawvere Condition: namely, any reflexive graph is endowed with a unique groupoid structure (Johnstone). We investigate, at the level of functors, the effect of definitions mimicking those of Mal’tsev and naturally Mal’tsev categories : a functor $U\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}$ is said to be a Lawvere functor when it is left exact and reflects the groupoid structures in $\mathcal{D}$ from the reflexive graph ones in $\mathcal{C}$; this same functor $U$ is said to be a Mal’tsev one when this last property only holds for the reflexive relations in $\mathcal{C}$. We give many examples and then show that these functorial notions give rise to exactly the same kind of characterizations as those of the associated categories. We give, among other, an application concerning the characterization of the Smith $=$ Huq condition.

Albert Burroni: Systèmes versus Structures (pour une Informatique Fondamentale)
Les nombreuses “machines à calculer formelles” introduites en Informatique Théorique, les grammaires, les automates finis, les automates à piles, les machines de Turing, les réseaux de Petri, … peuvent aussi être qualifiées de “systèmes dynamiques discrets” (même si cette terminologie est déjà utilisée pour un concept voisin). Nous les appellerons ici simplement “systèmes”. A part le cas des automates finis, à cause d’un détail technique (appel à la construction des monoïdes libres), ces objets mathématiques ne sont pas définis exactement comme des “structures”. Cela a pour effet de les tenir éloignés d’un traitement catégorique spontané (pas de définition naturelle d’homomorphisme, donc pas non plus de limites et colimites). L’exposé développera et illustrera les questions suivantes :
1) Brève réflexion sur les mondes respectifs des “systèmes” et des “structures” (on évoquera un problème analogue concernant la définition des esquisses d’Ehresmann). Réflexions sur ce qu’on peut appeler le “réalisme” des premiers et l’ “idéalisme” des secondes. Réflexions aussi sur les conditions de finitude des “systèmes” et sur celui de leurs bandes enregistreuses.
2) Nous montrerons pourquoi tous ces “systèmes” se réduisent essentiellement à des grammaires, ou à une légère généralisation de celles ci. Cela nous conduit au concept plus fondamental de “sytèmes de réécritures” puis à celui de “2-polygraphes”.
3) Introduction, pour tout entier naturel $n$, des $n$-polygraphes et des $n$-logographes. Ce sont des “systèmes”, cette fois en dimensions quelconques. Le paradoxe est, qu’en dépit de ce qui avait été dit, les $n$-polygraphes sont les objets d’une catégorie $n-\mathsf{Pol}$, dont la définition est naturelle, non pathologique (pour $n = 0$, $1$ et $2$ ce sont des topos !). Mieux, cette catégorie peut même se définir sans passer par la définition préalable de ses objets, les $n$-polygraphes (en fait, ceci s’obtient par induction sur $n$, en partant de $0-\mathsf{Pol} = \mathsf{Ens}$). Les $n$-polygraphes sont des “systèmes” parce que ce sont des “présentations” de structures, les $n$-catégories, et non à proprement parler des “structures”.
4) Réflexions et illutrations avec les $n$-logographes pour des langages $n$-dimensionnels.

Arnaud Duvieusart : Groupoïdes fondamentaux d’objets simpliciaux dans les catégories de Mal’tsev
Les nerfs de groupoïdes constituent une sous-catégorie pleine et réflective de la catégorie des ensembles simpliciaux. Brown et Janelidze ont montré que cette adjonction induit une structure de Galois, pour laquelle les extensions sont les fibrations de Kan et les complexes de Kan sont admissibles. La propriété de Kan étant toujours satisfaite dans les catégories exactes de Mal’tsev, ceci suggère que les groupoïdes internes à telle catégorie forment une sous-catégorie admissible de la catégorie des objets simpliciaux. On peut en fait montrer que dans ce contexte la sous-catégorie est de Birkhoff. Par ailleurs, on montre que les extensions centrales relatives à la structure de Galois correspondante coïncident avec certaines fibrations exactes au sens de Glenn, et que cette structure de Galois admet un système de factorisation “monotone-light” relatif au sens défini par Chikladze dans le cas des fibrations de Kan entre complexes de Kan.

René Guitart : Catégories et monoïdes complets
On rappelle la notion de monoïde complet, ses rapports aux langages et automates, aux machines, aux univers algébriques, aux topos et locales, aux calculs d’idéaux, aux gerbiers. On identifie la catégorie des catégories à une sous-catégorie de la catégorie algébrique des monoïdes complets.

Yann Palu : Complexe platonique et catégories extriangulées
La notion de catégorie exacte au sens de Quillen axiomatise les sous-catégories stables par extension dans une catégories abélienne. En théorie des représentations d’algèbres, les sous-catégories stables par extension dans une catégorie triangulée jouent un rôle de plus en plus important : Elles apparaissent notamment en lien avec les algèbres amassées via la réduction d’Iyama-Yoshino, ou en lien avec le tau-basculement via la notion de complexe bousculant (silting) à deux termes.
Les catégories extriangulées, introduites en collaboration avec Hiroyuki Nakaoka, sont une axiomatisation de ces sous-catégories stables par extension dans une catégorie triangulée et généralisent simultanément la notion de catégorie exacte et celle de catégorie triangulée.
Dans cet exposé, nous présenterons les catégories extriangulées à travers un exemple simple issu de la combinatoire.

Corentin Vienne : Caractérisation des algèbres de Lie via la représentabilité des actions
De la même façon que les actions de groupes sont représentées par les groupes d’automorphismes, les actions d’algèbres de Lie sont représentées par les dérivations. En effet, à isomorphisme près, une extension scindée d’une algèbre de Lie $X$ par une algèbre de Lie $B$ correspond à un morphisme de $B$ vers $Der(X)$. Généralisé aux catégories semi-abéliennes, ce phénomène, introduit par F. Borceux, G. Janelidze et G.M. Kelly dans [2, 1], est nommé representabilité des actions.
Durant mon exposé, à l’aide de notions telles que le produit semi-direct (défini dans les catégories semi-abéliennes par D. Bourn et G. Janelidze dans [3]), j’expliquerai pourquoi le concept de dérivations ne peut pas être étendu aux autres algèbres non-associatives de telle manière à ce qu’elles caractérisent les actions des dites algèbres. Autrement dit, sous quelques hypothèses, je donnerai une caractérisation catégorique, en particulier via la représentabilité des actions, des algèbres de Lie sous la forme du théorème suivant :
Théorème. Soient $\mathbb{K}$ un corps infini et $\mathcal{V}$ une variété d’algèbres non-associatives sur $\mathbb{K}$. Si $\mathcal{V}$ est une variété non-abélienne action représentable, alors $\mathcal{V}$ est soit $Lie_\mathbb{K}$ la variété des algèbres de Lie, soit $qLie_\mathbb{K}$ la variété des quasi-Lie algèbres.
Travail en collaboration avec Xabier García-Martínez, Tim Van der Linden et Matvei Tsishyn.
[1] F. Borceux, G. Janelidze, and G. M. Kelly, Internal object actions, Comment. Math. Univ. Carolinae 46 (2005), no. 2, 235–255.
[2] F. Borceux, G. Janelidze, and G. M. Kelly, On the representability of actions in a semi-abelian category, Theory Appl. Categ. 14 (2005), no. 11, 244–286.
[3] D. Bourn and G. Janelidze, Protomodularity, descent, and semidirect products, Theory Appl. Categ. 4 (1998), no. 2, 37–46.